东莞初三数学家教老师鉴别学生的进步情况可以通过以下几个方面进行：

作业和练习：检查学生的作业完成情况，包括速度、准确性和完整性。

对比学生之前的作业和现在的作业，观察解题思路是否更加清晰，错误是否减少。

课堂表现：观察学生在课堂上的参与度，是否能够积极回答问题，提出自己的见解。

注意学生在课堂练习中的表现，是否能够迅速准确地完成题目。

考试和测验：定期进行小测验或模拟考试，对比学生成绩的变化。

分析学生在考试中的强项和弱项，了解学生的进步和需要改进的地方。

学习态度：观察学生对数学学习的态度是否更加积极，是否有主动学习的意愿。

了解学生在面对困难时的态度，是否能够坚持不懈地解决问题。

解题能力：分析学生在解决数学问题时的能力提升，如解题速度、解题方法、逻辑思维能力等。观察学生是否能够运用多种方法解决问题，是否能够灵活运用所学知识。

自主学习：评估学生是否能够独立完成学习任务，是否有自主学习的能力。观察学生在课外是否主动复习和预习，是否能够自我监督学习进度。

家长反馈：与家长沟通，了解学生在家的学习情况，家长对学生在数学学习上的观察和评价。

家长的反馈可以作为判断学生进步情况的重要参考。

以下是一些具体的鉴别方法：对比分析：将学生的当前表现与之前的表现进行对比，找出具体进步的地方。

目标设定：与学生一起设定短期和长期的学习目标，定期检查目标的达成情况。

反馈交流：定期与学生进行一对一的交流，了解他们的学习感受和困惑，给予针对性的指导。

案例学习：通过解决具体的数学问题案例，观察学生在解决实际问题时的进步。

通过上述方法，东莞初三数学家教老师可以全面地鉴别学生的进步情况，并据此调整教学策略，帮助学生更好地提升数学能力。